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Folgen

Stellen wir uns Folgendes vor: Wir würfeln mit einem gewöhnlichen Würfel n-Mal und notieren jeweils die gewürfelte Augenzahl. Wir erhalten dadurch eine Folge von n zufälligen Werten zwischen eins und sechs. Das heißt also, daß zwischen all den Werten keine oder nur zufällige Beziehungen existieren. Dies kann jedoch auch anders sein, wie das folgende Beispiel zeigen soll: Ein Wanderer kommt zu einem Tischler in einem Dorf und bittet ihn um Arbeit. Der Tischler ist grundsätzlich einverstanden, fragt jedoch nach den Gehaltswünschen des Wanderers. Dieser macht folgenden Vorschlag: Für seine 30-tägige Arbeitszeit verlangt er am ersten Tag einen Pfennig. Dieses Gehalt verdoppelt sich dann jeden Tag, so daß er am zweiten Tag zwei am Dritten vier, am Vierten 8 Pfennig usw. bekommt. Der Tischler ist zunächst skeptisch, willigt dann jedoch ein. Nach den 30 Tagen verläßt der Wanderer den Ort als reicher Mann und läßt einen pleiten Tischler zurück. Was ist passiert? Schauen wir und die Tagesgehälter des Wanderers einmal genauer an:

Tag     Lohn    Tag     Lohn    Tag     Lohn
 1        1     11        1024  21        1048576
 2        2     12        2048  22        2097152
 3        4     13        4096  23        4194304
 4        8     14        8192  24        8388608
 5       16     15       16384  25       16777216
 6       32     16       32768  26       33554432
 7       64     17       65536  27       67108864
 8      128     18      131072  28      134217728
 9      256     19      262144  29      268435456
10      512     20      524288  30      536870912

Wie man sieht, verdient der Wanderer allein am letzten Tag über 5 Millionen Mark. Zurück zu unserer Folge: Im Gegensatz zum Würfeln sind die Werte hier nicht zufällig, sondern stehen in einem Zusammenhang zueinander. Jeder Wert ist das Zweifache seines Vorgängers. Aus dieses Werten bilden wir nun die Folge a(n) (Das n wird normalerweise nicht in Klammern geschrieben sondern hinter den gewählten Kleinbuchstaben tiefgestellt geschrieben.). n wird bei einer Folge als Laufindex festgelegt und ist eine natürliche Zahl. In unserem Beispiel ist der fortlaufende Index der jeweilige Tag, daß heißt, daß dem Glied a(5) der Lohn des 5. Tages zugewiesen wird. Um nun zu einer allgemeinen Vorschrift a(n) zu kommen, betrachten wir, wie sich sich die Glieder zusammensetzen. Das erste Glied soll dabei zunächst einmal ausgelassen werden. Das zweite Glied ist 2. Das dritte Glied ist das doppelte vom Zweiten, also 4, was man jedoch auch als 2*2 oder 2^2 schreiben kann. Es folgt 8 als 4. Glied, was ebenfalls als 2*4, 2*2*2 oder 2^3. Dieses läßt sich fortsetzen. Hier noch mal in der Übersicht:

<m>a(2) = 2 = 2^1</m> <m>a(3) = 4 = 2*2 = 2^2</m> <m>a(4) = 8 = 4*2 = 2*2*2 = 2^3</m>

Offentsichtlich erhöht sich der Exponent über der 2 bei jedem Glied um eins und ist stets eins kleiner als der Laufindex. Dieses trifft auch auf unser a(1) zu. Hier ist der Laufindex 1 und laut unserer zuvor gewonnen Erkenntnis müßte a(1) gleich 2^(1-1), also 2^0 sein, was in der Tat stimmt, da 2^0 gleich 1 ist. Wir erhalten also als Vorschrift

<m>a(n) = 2^(n-1).</m>

Bei einer Folge geht es immer darum, die Glieder der Folge in Beziehung zum Laufindex zu setzen. Eine Konstante als Vorschrift stellt dabei eine Ausnahme da, da alle Folgeglieder identisch sind. Ein konstante Folge hat folgendes Aussehen:

<m>a(n) = k (k e N).</m>

Eine weitere einfache Folge ist jene der natürlichen Zahlen. Hier entsprechen die Folgeglieder stets dem Laufindex, es gilt also

<m>a(n) = n.</m>

Wir können also eine Folge folgendermaßen definieren:

Eine gesetzmäßige Aufeinanderfolge von Zahlen heißt eine Zahlenfolge.

Man unterscheidet nun drei (Haupt-) Arten von Folgen:

1. Die arithmetische Folge 2. Die geometrische Folge 3. Die alternierende Folge

4. Eigenschaften von Folgen

1. Die arithmetische Folge

Das charakteristische an eine arithmetischen Folge ist der stets konstante Abstand zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Gliedern, d.h. es existiert ein Wert

<m>d = a(n)-a(n-1) = konstant,</m>

der konstant ist. Umgestellt nach a(n) ergibt dies:

<m>a(n) = a(n-1) + d.</m>

Der Abstand zwischen dem 1. und 2. Glied einer Folge ist d. Folglich ist auch der Abstand zwischen dem 2. und 3. Glied gleich d. Der Abstand zwischen dem 1. und 3. Glied ist dann 2*d. Zwischen dem 1. und 4. Glied ist er 3*d. Man kann also allgemein sagen, daß zwischen dem 1. und n-ten Glied ein Abstand von (n-1)*d existiert. Wäre das erste Glied nun Null, so würde die allgemeine Formel einer arithmetischen Folge

<m>a(n) = (n-1) * d</m>

lauten. Wenn a(1) nicht Null ist, so muß man diesen Wert noch hinzu addieren und kommt auf:

<m>a(n)= a(1) + (n-1) * d</m> ,

was die allgemeime Vorschrift ist.

2. Die geometrische Folge

War bei arithmetischen Folgen die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgegliedern stets konstant, so trifft dies bei geometrischen Folgen auf den Quotient zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgegliedern zu. Es gilt also:

<m>q = „a(n)“ / 'a(n-1)' = konstant</m>

Stellen wir diese Formel nach a(n) um, erhalten wir:

<m>a(n) = a(n-1) * q</m>

Wir erkennen also, daß sich ein Folgeglied aus dessen Vorgänger multipliziert mit der Konstanten q ergibt. Das heißt, daß a(2) gleich a(1) mal q ist. Folglich ist a(3) gleich a(2) mal q. Da a(2) jedoch, wie schon gesagt ebenfalls ein Produkt ist können wir es auch ersetzen:

<m>a(2) = a(1) * q</m>

<m>a(3) = a(2) * q</m>

<m> = a(1) * q * q</m>(a(2) ersetzt)

<m> = a(1) * q^2</m>(zusammengefaßt)

<m>a(4) = a(3) * q</m>

<m> = a(1) * q^2 * q</m> (a(3) ersetzt)

<m> = a(1) * q^3</m>(zusammengefaßt)

Im obigen Beispiel wurde das ganze mit a(4) fortgesetzt, und nun können wir aich hier wieder einen Schluß ziehen: Um vom 1. auf das n-te Folgeglied zu kommen müssen wir a(1) mal q hoch (n-1) nehmen. Der Abstand zwischen dem 1. und n-ten Folgeglied ist dem Quotient beider Glieder, was q hoch (n-1) entspricht. Die allgemeine Vorschrift einer geometrischen Folge lautet demnach:

a(n) = a(1) * q^(n-1)

3. Die alternierende Folge

Alternierende Folgen haben eine wesentliche Eigenschaft, ihre Wert steigen oder sinken nicht kontinuierlich, sondern die Folgeglieder wechseln beständig ihr Vorzeichen. Eine alternierende Folge enthält meist einen Faktor, bei dem eine negative Zahl in eine, vom Laufindex abhängige Potenz erhoben wird, wie z.B.:

(-1)^n

Eine alternierende Folge könnte demnach so aussehen:

a(n) = (-1)^n * beliebige Folge.

4. Eigenschaften von Folgen

Folgen können verschiedene Eigenschaften aufweisen, so z.B. eine Monotonie oder eine Beschränktheit. Bei den nachfolgenden Beweisen müssen alle Bedingungen für alle n e N erfüllt sein! Unter Monotonie versteht man, daß eine Folge stets wachsende oder sinkende Werte der Folgeglieder besitzt. Eine alternierende Folge ist folglich nicht monoton, da ihre Werte immer im Wechsel steigen bzw. sinken. Um die Monotonie einer Folge mathematisch zu beweisen muß man entweder zeigen, daß gilt:

a(n) ⇐ a(n+1) für eine monoton wachsende Folge, oder a(n) >= a(n+1) für eine monoton fallende Folge.

Eine Folge die monoton wachsend ist, kann verständlicher Weise nicht auch monoton fallend sein. Konstante Folgen sind weder monoton wachsend noch fallend, da sie, wie der Name schon sagt, konstant sind.

Eine weitere Eigenschaft einer Folge kann die Beschränktheit sein. Beschränktheit kann es noch oben hin oder nach unten geben. Sie bedeutet, daß entweder alle Folgeglieder größer oder kleiner als eine bestimmter Wert sind, dh. in niemals über- bzw. unterschreiten. Diese Wert nennt man obere und untere Schranken. Folgen die eine Monotonie aufweisen, haben automatisch eine Schranke beim Glied a(1). Es ist eine obere Schranke, wenn die Folge monoton fallend ist, da dann alle Folgeglieder kleiner als a(1) sind. Umgekehrt ist es eine untere Schranke, wenn die Folge monoton steigend ist, da alle Folgeglieder größer als a(1) sind. Um zu prüfen, ob eine Schranke beim Wert existiert, muß man zeigen, daß gilt:

a(n) ⇐ k (k e R), für eine obere Schranke, oder a(n) >= k (k e R), für eine untere Schranke.

Folgen können sowohl obere als auch unter Schranken aufweisen, wenn sie z.b. alternierend sind. Hat man eine obere bzw. untere Schranke gefunden, so kann man automatisch sagen, daß alle Werte größer (bei oberen Schranken) bzw. kleiner (bei unteren Schranken) k ebenfalls Schranken der Folge a(n) sind. Die wichtigsten Schranken einer Folge sind jedoch, sofern vorhanden, die größte untere Schranke und die kleinste obere Schranke. Diese Werte sind die größten bzw. kleinsten, die nicht von der Folge unter- bzw. überschritten werden. Zudem ist deren Existenz Voraussetzung für einen Grenzwert.

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  • Zuletzt geändert: 2019/05/02 17:25
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