mathe:taylorfunktion_sinus

Taylorfunktuion Sinus

Sinus mit der Taylorreihe approximieren

Viele Taschenrechner verwenden Taylorreihen intern, um trigonometrische Funktionen, wie beispielsweise den Sinus, zu berechnen. In der Abbildung rechts sehen wir die Sinusfunktion sowie Taylorreihen der Grade 3, 5 und 7. Um die Sinusfunktion als Taylorreihe zu schreiben, schauen wir uns zunächst einmal die Ableitung des Sinus an:

Wir wir sehen können, erhalten wir nach vier Ableitung wieder die Sinusfunktion – unsere Ausgangsfunktion. Die Sinusfunktion ist also beliebig oft differenzierbar und ihre Ableitungen wiederholen sich nach vier Durchgängen. Wir wollen den Sinus an der Stelle 0 berechnen. Wir wissen, dass eine Taylorreihe an der Stelle 0 nach folgendem Schema aufgebaut ist:

Nun setzen wir die Ableitung der Sinusfunktion ein:

Wir wissen auch von der Sinus- und der Kosinusfunktion, dass sin(0) immer 0 ist und cos(0) immer 1. Dadurch lässt sich unsere Reihe sehr vereinfachen:

Nachdem wir die Reihe vereinfacht haben, erhalten wir:

Die Sinusfunktion lässt demnach auch durch folgende Taylorreihe ausdrücken:

Taylorreihe und Tangentengleichung

Oft soll in der Oberstufe die Tangentengleichung einer Funktion an einer Stelle berechnet werden. Eine Taylorreihe ersten Grades entspricht der Tangentengleichung. Man spricht auch von der „Linearisierung der Funktion f an der Stelle a“.

Dies ist besonders interessant, da ältere CAS Taschenrechner oft keine eigenständige Funktion besitzen um die Tangentengleichung zu bestimmen, dafür aber meistens eine Taylor-Funktion.

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  • Zuletzt geändert: 2019/05/02 17:25
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