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mathe:taylorfunktion_sinus [2016/01/13 15:23] – angelegt admin | mathe:taylorfunktion_sinus [2019/05/02 17:25] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1 | ||
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+ | ====== Taylorfunktuion Sinus ====== | ||
+ | Sinus mit der Taylorreihe approximieren | ||
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+ | Viele Taschenrechner verwenden Taylorreihen intern, um trigonometrische Funktionen, wie beispielsweise den Sinus, zu berechnen. In der Abbildung rechts sehen wir die Sinusfunktion sowie Taylorreihen der Grade 3, 5 und 7. Um die Sinusfunktion als Taylorreihe zu schreiben, schauen wir uns zunächst einmal die Ableitung des Sinus an: | ||
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+ | Wir wir sehen können, erhalten wir nach vier Ableitung wieder die Sinusfunktion – unsere Ausgangsfunktion. Die Sinusfunktion ist also beliebig oft differenzierbar und ihre Ableitungen wiederholen sich nach vier Durchgängen. | ||
+ | Wir wollen den Sinus an der Stelle 0 berechnen. Wir wissen, dass eine Taylorreihe an der Stelle 0 nach folgendem Schema aufgebaut ist: | ||
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+ | Nun setzen wir die Ableitung der Sinusfunktion ein: | ||
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+ | Wir wissen auch von der Sinus- und der Kosinusfunktion, | ||
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+ | Nachdem wir die Reihe vereinfacht haben, erhalten wir: | ||
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+ | Die Sinusfunktion lässt demnach auch durch folgende Taylorreihe ausdrücken: | ||
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+ | Taylorreihe und Tangentengleichung | ||
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+ | Oft soll in der Oberstufe die Tangentengleichung einer Funktion an einer Stelle berechnet werden. Eine Taylorreihe ersten Grades entspricht der Tangentengleichung. Man spricht auch von der " | ||
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+ | Dies ist besonders interessant, |