mathe:taylorfunktion_sinus

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mathe:taylorfunktion_sinus [2016/01/13 15:23] – angelegt adminmathe:taylorfunktion_sinus [2019/05/02 17:25] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 +====== Taylorfunktuion Sinus ======
  
 +Sinus mit der Taylorreihe approximieren
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 +Viele Taschenrechner verwenden Taylorreihen intern, um trigonometrische Funktionen, wie beispielsweise den Sinus, zu berechnen. In der Abbildung rechts sehen wir die Sinusfunktion sowie Taylorreihen der Grade 3, 5 und 7. Um die Sinusfunktion als Taylorreihe zu schreiben, schauen wir uns zunächst einmal die Ableitung des Sinus an:
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 +Wir wir sehen können, erhalten wir nach vier Ableitung wieder die Sinusfunktion – unsere Ausgangsfunktion. Die Sinusfunktion ist also beliebig oft differenzierbar und ihre Ableitungen wiederholen sich nach vier Durchgängen.
 +Wir wollen den Sinus an der Stelle 0 berechnen. Wir wissen, dass eine Taylorreihe an der Stelle 0 nach folgendem Schema aufgebaut ist:
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 +Nun setzen wir die Ableitung der Sinusfunktion ein:
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 +Wir wissen auch von der Sinus- und der Kosinusfunktion, dass sin(0) immer 0 ist und cos(0) immer 1. Dadurch lässt sich unsere Reihe sehr vereinfachen:
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 +Nachdem wir die Reihe vereinfacht haben, erhalten wir:
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 +Die Sinusfunktion lässt demnach auch durch folgende Taylorreihe ausdrücken:
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 +Taylorreihe und Tangentengleichung
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 +Oft soll in der Oberstufe die Tangentengleichung einer Funktion an einer Stelle berechnet werden. Eine Taylorreihe ersten Grades entspricht der Tangentengleichung. Man spricht auch von der "Linearisierung der Funktion f an der Stelle a".
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 +Dies ist besonders interessant, da ältere CAS Taschenrechner oft keine eigenständige Funktion besitzen um die Tangentengleichung zu bestimmen, dafür aber meistens eine Taylor-Funktion.